Förändringskvot

May 11, 2022 //

En sekant är en linje som skär en kurva i flera punkter.
En tangent tangerar en kurva i en punkt.

Om vi börjar med en sekant och låter punkten B på funktionen närma sig A närmar sig sekanten en tangent genom A.

y = f(x)

Sekantens riktningskoefficient anger dess lutning. Den fås som kvoten av skillnaden i ykoordinat genom skillnaden i xkoordinat.

a) Förändringskvoten $k=\frac{\Delta f}{\Delta x}=\frac{f(x+h) - f(x)}{x+h - x}$ är sekantens riktningskoefficient, genom punkterna (x,f(x)) och (x+h,f(x+h)) på funktionen f.

b) Förändringskvotens $k=f'(x)=\lim_{\Delta x\to 0} \frac{\Delta f}{\Delta x}=\lim_{h\to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}$ gränsvärde när h går mot 0 ( och x närmar sig x+h ) ger oss tangentens riktningskoefficient på kurvan mao. förändringshastigheten/derivatan i punkten (x,f(x)).

Categories Uncategorized

Derivata

January 9, 2016 //

[mathjax]
Här är ett deriveringsfönster.

Vi har en cirkulär rörelse enligt:

$\left\{ \begin{matrix}x=3.55\cos(8t) -1.55 \cos(-12t) \\y=3.55\sin(8t) -1.55 \sin(-12t) \\\end{matrix} \right.\\$

$\left\{ \begin{matrix} x'=3.55\cos(8t) -1.55 \cos(-12t) \\y'=3.55\sin(8t) -1.55 \sin(-12t) \\ \end{matrix} \right.\\$

$\left\{ \begin{matrix} x"=3.55\cos(8t) -1.55 \cos(-12t) \\ y"=3.55\sin(8t) -1.55 \sin(-12t) \\ \end{matrix} \right.\\$

Plot
(3.55 cos(8 t) – 1.55 cos(-12 t), 3.55 sin(8 t) – 1.55 sin(-12 t))

Plot 1st derivative of (3.55 cos(8 t) – 1.55 cos(-12 t), 3.55 sin(8 t) – 1.55 sin(-12 t))

Plot
2nd derivative of (3.55 cos(8 t) – 1.55 cos(-12 t), 3.55 sin(8 t) – 1.55 sin(-12 t))

Vi kollar derivatan här:

Categories Uncategorized

Snabbkurs i MAB3

March 15, 2015 //

MAB3 Matematiska modeller 1

Allmänt om funktioner och grafer.

En funktion är en avbildning av tal x (på x-axeln) till f (längs y-axeln)

f(x)=x+1 är en funktion, som representeras av grafen y = x+1 i xy-koordinatsystemet.

För ett värde på x=3 fås en avbildning f(3)=3+1=4.

Vi skall börja med linjer.

Fyra linjer avgränsar ett område som liknar en pilspets.
Räkna dess area.

När vi skall rita linjer räcker det med två punkter.

Vi gör en tabell för linjerna.

linje 1

$x$	$y=2x+1$
$0$	$2\cdot 0 +1=1$
$1$	$2\cdot 1 +1=3$

linje 2

$x$	$y=-2x-1$
$0$	$-2\cdot 0 -1=-1$
$1$	$-2\cdot 1 -1=-3$

linje 3

$x$	$y=\frac{x}{2}-1$
$0$	$\frac{0}{2}-1=-1$
$1$	$\frac{1}{2}-1=-\frac{1}{2}$

linje 4

$x$	$y=-\frac{x}{2}+1$
$0$	$1$
$1$	$-\frac{1}{2}+1=\frac{1}{2}$

Räkna ut skärningspunkterna

Mellan 1 och 4
$\begin{cases} y & = 2x+1 \\ y & = -\frac{x}{2}+1 \end{cases}$

$2x+1 = -\frac{x}{2}+1$
$2x = -\frac{x}{2}$
$x+\frac{x}{2}=0$
$\frac{3x}{2}=0$
$x=0 \Rightarrow y=2\cdot 0+1=1$

$P_{14}(x_{14}, y_{14})=(0,1)$

Mellan 2 och 3
$\begin{cases} y & = -2x-1 \\ y & = \frac{x}{2}-1 \end{cases}$

$2x-1= -\frac{x}{2}-1$
$2x= -\frac{x}{2}$
$\frac{5x}{2}= 0$
$x=0 \Rightarrow y=-2\cdot 0-1=-1$

$P_{23}(x_{23}, y_{23})=(0,-1)$

Är linjerna 2 och 3 vinkelräta mot varandra ?

Vi undersöker produkten av riktningskoefficienterna:

$k_3 \cdot k_2 = (-2)\cdot \frac{1}{2}=-1$

SVAR: Ja, de är vinkelräta.

Räkna ut skärningspunkterna

Mellan 2 och 4
$\begin{cases} y & = -2x-1 \\ y & = -\frac{x}{2}+1 \end{cases}$

$-2x-1 = -\frac{x}{2}+1$
$-2x = -\frac{x}{2}+2$
$-\frac{3x}{2}= 2$
$x=-\frac{4}{3} \Rightarrow y=\frac{8}{3}-1=\frac{5}{3}$

$P_{24}(x_{24}, y_{24})=(-\frac{4}{3}, \frac{5}{3})$

Mellan 1 och 2
$\begin{cases} y & = 2x+1 \\ y & = -2x-1 \end{cases}$

$-2x-1 = 2x+1$
$-2 = 4x$
$4x = -2$
$x=-\frac{1}{2} \Rightarrow y=(-\frac{1}{2})\cdot 2+1=0$

$P_{12}(x_{12}, y_{12})=(-\frac{1}{2}, 0)$

Räkna ut arean av pilen

Tips : Arean är 2 gånger övre halvan av pilen = $A=2\cdot (\frac{1}{2}\cdot b\cdot h)$
där höjden h = avståndet mellan ( $-\frac{1}{2}, 0)$ och ( $0, 1)$ och
basen b = avståndet mellan ( $2, 0$ ) och ( $-\frac{4}{3}, \frac{5}{3}$ ).

$h= \sqrt{(-\frac{1}{2}-0)^2 + (0-1)^2} = \sqrt{\frac{1}{4} + 1} =\frac{\sqrt{5}}{2}$

$b= \sqrt{(\frac{6}{3}-(-\frac{4}{3}))^2 + (0-\frac{5}{3})^2} = \sqrt{\frac{10}{3}^2 + \frac{5}{3}^2} = \sqrt{\frac{100}{9} + \frac{25}{9}} = \frac{5\cdot \sqrt{5}}{3}$

$A = b\cdot h = \frac{\sqrt{5}}{2}\cdot \frac{5\cdot \sqrt{5}}{3} = \frac{25}{6} = \Large 4 \frac{1}{6}$ ( areaenheter eller rutor )

Categories Uncategorized

Hur mycket är 1% av en centiljon ?

June 18, 2014 //

Hur mycket är en procent av en centiljon ?

Read the rest of this entry »

Tags centiljon

Categories Uncategorized

June 9, 2014 //

$math-joke-num-list-300x195$

Min kollega Kalle Ögland tipsade mig om en ekvationslösning på mathjokes, som kräver en förklaring.

$\displaystyle x^2 - x^2 = x^2 - x^2 \, \| \text{ utbrytning av x och konjugatregeln }$

$\displaystyle x\cdot (x-x) = (x+x)\cdot (x-x) \, \| \, \text{ dividera med } (x-x)$ *

$\displaystyle x = x + x$

$\displaystyle x = 2x \, \| \, \text{ dividera med } x$

$\displaystyle 1 = 2 \text { falskt }$ alltså gäller inte ekvationen för något värde på x ?

Ja, vad är fel för 1 är ju inte samma som 2 ?
Read the rest of this entry »

Categories Uncategorized

Övning med ekvationer av första graden

March 17, 2014 //

1.	$\displaystyle 0,5x=4986$
2.	$\displaystyle 14x-75=11x$
3.	$\displaystyle 2(x-16)=106$
4.	$\displaystyle x^2 = 625$
5.	$\displaystyle \frac{480}{x} = 2x$
6.	$\displaystyle 17x-31 = 5 + 8x$
7.	$\displaystyle 109 - 6x = x$
8.	$\displaystyle 64 + 8x = 16$
9.	$\displaystyle x^2=676$
10.	$\displaystyle \frac{5,7x-55,86}{x} = 0$
11.	$\displaystyle 23x-19 =4(x+9)$
12.	$\displaystyle 3x+4x-6-9x=28x$
13.	$\displaystyle 573 - \frac{y}{3} = 2y - 78$
14.	$\displaystyle \frac{y-52}{3} = 36$
15.	$\displaystyle k - 18\cdot 3,8 = 2k$
16.	$\displaystyle \frac{x-88}{22} = 150$
17.	$\displaystyle \frac{x}{15} = \frac{67}{30}$
18.	$\displaystyle -4(t-3) = -5t$