Lakse ympyrän pinta-ala, jonka säde on sen halkaisijan ja piirin pituuksien suhteen neliöjuuri ?
Calculate the area of a circle with a radius equal to the square root of its diameters relation to its circumference ?
Beräkna den cirkels yta vars radie är kvadratroten av diameterns förhållande till omkretsen.
Här skall vi undersöka några decimaltal.
Jag fick tipset om att 1/9801 och 1/980001 har intressanta decimaler av Alli Huovinen och Markus Översti på facebook sidan Rakastan matematiikkaa.
Om någon vill testa rekommenderar jag dock att börja med 1/81
Vi drar ett streck över den återkommande decimaldelen. Om man vill ha decimalerna 0.0123456789.. så är det bättre med
1/81-10/899999999991= 13717421/1111111111
\\
\frac{1}{999^2}=\frac{1}{1000^2+1-2000}=\frac{1}980001}\\&space;\\&space;x=0,001\Rightarrow&space;\sum_{i=1}^{n}x^i=\sum_{i=1}^{n}0,001^i=0,001001001001..=\frac{0,001}{1-0,001}=\frac{1}{999}\\&space;\Rightarrow&space;\frac{1}{98001}=(\sum_{i=1}^{n}0,001^i)^2=(\sum_{i=1}^{n}x^i)^2=&space;x(\sum_{i=1}^{n}ix^i)=0,000001002003004005006007008009010011&space;\ldots&space;\\
\\ \\
\cos15^\circ = \cos(45^\circ-30^\circ)=\cos45^\circ \cos30^\circ+\sin45^\circ\sin30^\circ\\\\
=\frac{1}{\sqrt2}\cdot\frac{\sqrt3}{2}+\frac{1}{\sqrt2}\cdot\frac{1}{2}
=\frac{\sqrt2(\sqrt3+1)}{4}\approx \appoximate 0.96592583
$
\[\large \\
\,A=\pi R^2
\\
\, \pi\approx 3,1415926\ldots=”circumference\, of\,circle/diameter(=ympyrän\,piiri/halkaisija)”\\
\, A=”area\,(=pinta-ala)”\\
\, R=”radius(=säde)”\\
\, jos\,R=\frac{1}{\sqrt{\pi }} \Rightarrow A=\pi\cdot (\frac{1}{\sqrt{\pi}})^2=\frac{\pi}{\pi}=1\]
$
References:
Explaining the decimal expansion of 1/81 by Cheer and Goldston
En hostmedicinblandning på 12 uns ( 1 uns = 1 ounce = 28.3495 gram ) med 25% viktprocent av aktivt verkande medicin skall spädas ut den med smaksatt sirap till 10% styrka. Hur mycket sirap behövs då?
Man kan lösa detta åtminstone med uträkning och ekvationsuppställning :
1. Uträkning
Hur många gram har vi av det aktiva ämnet ?
25% = 1/4 av 12 uns = 12/4= 3 uns.
Hur mycket blandning behövs för att 3 uns skall vara 10% av hela köret ?
10% = 1/10 lösning ger totalvikten 10 x 3 uns = 30 uns
Hur mycket sirap behövs ?
SVAR : 30 – 12 = 18 uns sirap tillsätts i utspädande syfte.
Exempel : Medicinlösningar
”På vilken tid utför 14 män, som arbetar 5 timmar varje dag ett arbete, som 9 män med en arbetstakt på 7 timmar om dagen, får färdigt på 3 och 1/3 dagar ?”
Källa : Ceder, R: “Lärobok i att räkna tal” Luvunlaskun oppikirja (1925) av Alli Huovinen
Så här resonerades det på den tiden :
Arbetet
9 män under (3+1/3=10/3) dar med 7 arbetstimmar/dag, motsvarar
1 man på 90/3=30 dar med 7 arbetstimmar/dag, motsvarar
1 man och 210 arbetstimmar, som delas med 5 timmar per dag
210/5 = 42 dagar, vilket i sin tur delas på 14 män
alltså blir det 42/14 =3 dagar.
Alternativt med algebra
Idag med ekvationer och variabler är det bara att ställa upp
Arbete [persontimmar] = Dagar [d] * Arbetare * Dagsarbete [h/d]”
x* 14 * 5 = (10/3)*9*7 || /5/14
x = 30*7/(14* 5)=6/2=3
Provar att sätta in en länk till ett geogebra exempel..
http://www.geogebratube.org/material/show/id/12231
Om geogebra inte funkar måste du kanske installera Java (Java kan installeras härifrån)
Här är ett till exempel på andragradspolynom.
Det gäller att bestämma a,b och c i det allmänna uttrycket för en parabel med symmetriaxeln parallell med y-axeln.
En insektpopulations tillväxt simuleras med ett tredjegradspolynom.
f(t)= – 10 t3 +120 t2 +1000
Vi undersöker när funktionen avtar för t>0 och vad funktionens största värde blir.
gräshoppor ?
http://www.geogebratube.org/material/show/id/21659
Om x-axeln inte syns – högerklicka och zoom ut grafen.
Jag brukar säga att det är det tal som gånger sig själv blir talet.
Om man pluggat multiplikationstabellen är det ganska lätt att svara på frågan :
Vilket tal gånger sig själv blir 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81 eller 100 ?
Svar: 1,2,3,4,5,6,7,8,9 och 10.
Kvadratroten av 1,4,9,16 … är alltså 1,2,3,4 …
Kvadratrötterna är alltså de tal som gånger sig själv blir kvadrattalen
Men vad är då kvadratroten av 2 ?
Det funderade redan Sokrates över i sin dialog med Menon, som skrevs av Platon mellan år 399 f. Kr. (Sokrates död) och 347 f. Kr. (Platons död). I dialogen “Menon” (Menôn) diskuteras om dygd (ett beundransvärt eller moraliskt gott karaktärsdrag) kan läras ut, om inte, kan det förvärvas genom erfarenhet eller är det medfött. Sokrates diskuterar med Menon som tillhör en aristokratisk familj. Närvarande är också Menons unga slav.
“Enligt en utbredd tolkning går Menons paradox ut på följande (för den som inte har detta aktuellt för sig). Slavpojken Menons dialog med sin lärare Sokrates handlar om det omöjliga att söka kunskap: Om man redan har kunskap behöver den inte sökas då man ju redan har den och har man inte kunskap är det omöjligt att söka den på grund av att man inte vet vad man skall söka (och om man hittade kunskap skulle man inte känna igen den eftersom man inte visste vad man sökte; se Platon 1994).”
Sokrates visar åt Menons unga slav att det finns kunskap han inte har. Om en kvadrat med sidan 1 har ytan 1 vilken sida har då en kvadrat med ytan 2 ? Först prövar slaven med sidan 2 och hittar ytan 2×2=4 i ett rutfält, men konstaterar sedan att det måste vara mindre. Han blir förbryllad. Efter litet ritande och funderande hittar han med Sokrates hjälp dock en kvadrat med diagonalerna i rutfältets rutor som sida vars yta är fyra halva rutor eller 2. Sokrates tror att kunskapen är medfödd och alla besitter den, men den måste hittas.
Att däremot uppnå sådan kunskap som vi inte kan identifiera kan eventuellt kallas upptäckt, medan uppnående av kunskap som vi identifierat kunde kallas inlärning. Kanske kunde man säga att inlärning handlar om uppnåendet av undervisningsbar insikt. (M. Uljens 1998)
Kvadratroten av 2 är alltså det tal som gånger sig själv blir 2.
_drawing_29.gif)
Den blåa kvadraten är dubbelt så stor yta som den ursprungliga.
Om vi ritar en grundparabel y=x2 i ett koordinatsystem ser vi också att vi för alla positiva värden k har två skärningspunkter (-√k, k) och (√k, k) på linjen y=k och parabeln y=x2.
Vilka tal i kvadrat blir k ?
Källa: geogebratube 22135 !
Läs mera om att kvadratroten av 2 inte kan vara ett heltal eller bråk på matteverkstaden.
Källor :
Häromdagen fick jag en fråga som handlade om varför produkten av två negativa tal blir positiv.
Det tog ganska länge att resonera oss fram till svaret utifrån frågeställarens perspektiv och nivå.
Bäst att ta det grundligt och lägga upp det här ifall jag får samma fråga på nytt någon gång.
Vi började från addition av positiva heltal ( kunde tex gälla dubbelsteg, temperaturökningar med 2 grader Celsius eller inbetalning av 2 euro. )
2 + 2 = 4
2 + 2 + 2 = 6
2 + 2 + 2 + 2 = 8
Om samma tal adderas flera gånger kan man istället multiplicera :
2 x 2 = 4
3 x 2 = 6
4 x 2 = 8
Så här långt är vi väl alla överens ?
Räknar man benen på två fyrbenta djur eller fyra tvåbent djur blir det ju i båda fallen totalt åtta ben, fast det finns de som hävdar att 2 ggr 4 och 4 ggr 2 i det fallet ju inte alls är samma sak. En del kallar den första faktorn vid multiplikation av två faktorer för multiplikator och den andra multiplikand.
Addition av negativa tal går till så här ( tänk dubbelsteg bakåt, temperatursänkningar på 2 minusgrader eller utbetalning av 2 euro )
-2 + (-2) + (-2) = -6
Om samma tal adderas flera gånger kan man istället multiplicera
3 (-2) = -6
Subtraherar vi samma tal flera gånger motsvarar det 0ckså en multiplikation.
– 2 – 2 – 2 = (-3) 2 = – 6
För att förklara multiplikatorn (-3) kan man säga att en negativ multiplikator betyder upprepad subtraktion
eller om så önskas upprepad addition av motsatta tal eftersom
(-3)2 = 3(-1)2=3(-2).
Men då blir ju
-(-2) – (-2) – (-2) = (-3) (-2)
Och subtrahering av ett negativt tal är ju samma som addition.
-(-2) – (-2) – (-2) = +2 +2 +2 = 3 x 2 = 6
Istället för att ta bort tre bakåtsteg eller temperatursänkningar eller utbetalningar kan vi uppnå samma resultat genom att lägga till tre framåtsteg, temperaturökningar eller inbetalningar.
(-3)(-2) = -(-2) – (-2) – (-2) = +2+2+2 = 3 x 2 = +6
Detta förklarar varför (-3)(-2) = +6.
Kort sagt har vi kommit fram till att (-3)(-2) kan tolkas som tre subtraktioner av (-2) och det är ju tre additioner av 2 eller en multiplikation av 3 och 2 vilket blir +6.
PS. Hittar du på ett enklare, tydligare eller bättre resonemang ? Hör då gärna av dig.
Hjälplänkar för nya bloggare på wordpress : WordPress.com Add New post Admin dashboard PressThis
mattekliniken 