math-joke-num-list-300x195

Min kollega Kalle Ögland tipsade mig om en ekvationslösning på mathjokes, som kräver en förklaring.

\displaystyle x^2 - x^2 = x^2 - x^2 \, \| \text{ utbrytning av x och konjugatregeln }

\displaystyle x\cdot (x-x) = (x+x)\cdot (x-x) \, \| \, \text{ dividera med } (x-x) *

\displaystyle x = x + x

\displaystyle x = 2x \, \| \, \text{ dividera med } x

\displaystyle 1 = 2 \text { falskt } alltså gäller inte ekvationen för något värde på x ?

Ja, vad är fel för 1 är ju inte samma som 2 ?

*) OBS, Eftersom x-x inte får vara 0 här gäller inte fortsättningen för något värde på x där x-x=0

OK, jag skall förklara, men först visar jag en lösning,
som jag som mattelärare hade velat se.

\displaystyle x^2 - x^2 = x^2 - x^2 \, \| \text{ subtrahera bort allt } från bägge sidorna.

\displaystyle 0 = 0 \text{ sant } alltså gäller ekvationen för alla värden på x dvs \forall x

SVAR: Ekvationen gäller för alla värden på x

Och skall man lösa

\displaystyle x = 2x \| \text{ subtrahera x }

\displaystyle 0 = x \| \text{ byt sidor }

\displaystyle x = 0

eller

\displaystyle x = 2x \| \text{ dela med } x \ne 0

\displaystyle 1 = 2 \| \text{ falskt om } x \ne 0

men om x = 0:

\displaystyle 0 = 2 \cdot 0 \text{ sant }

alltså sant för:

\displaystyle x = 0

Varför gick det fel ? Jo för att i matematiken får man inte dela med 0.

Det är sant att för varje talvärde på x gäller att

\displaystyle x^2 - x^2 = x^2 - x^2

men därav följer inte att 1 = 2

och orsaken är att man inte får dela med noll i ekvationer !!

= = =

Man behöver inte trixa med utbrytning av x och konjugatregeln
för att distrahera publiken.

Anta att man får dela med noll

0 = 0

kan då skrivas om som

0 \cdot 77 = 0 \cdot 99

vilket skulle betyda att (detta vore sant)

77=99

om man fick dela ekvationer med noll och likhetstecknet gäller.

Ibland när man löser ekvationer kommer det tillfällen där man kan hitta en lösning om man multiplicerar eller delar med x, men då bör man notera att x är olika noll.

Ta till exempel vilket tal är lika sitt inversa tal (den multiplikativa inversen) ?

Dvs när gäller

\displaystyle 1 = \frac{1}{x} \text{ ?}

Vi kan genast konstatera att \displaystyle x = 0 inte duger som lösning
för 1/0 är odefinierat och kan inte vara 1.

Vi måste utesluta alla nämnares nollställen ur definitionsmängden för ekvationen
så x kan inte vara 0. Om vi håller oss till de reella talen kan man skriva att
definitionsmängden är alla reella tal utom 0.

\displaystyle D_f = \mathcal{R} \setminus \{ 0 \} = \{ \forall x \epsilon \mathcal{R}| x \ne 0 \}

Vi multiplicerar med x, om \displaystyle x \ne 0

\displaystyle 1 = \frac{1}{x} \, || \, \text{ multiplicera med } x \ne 0

\displaystyle x^2 = 1 \, \| \, \text{ subtrahera -1}

\displaystyle x^2 - 1 = 0 \, \| \, \text{ konjugatregeln }

\displaystyle (x + 1)\cdot (x - 1) = 0 \, \| \, \text{ nollregeln}

\displaystyle x + 1 = 0 \bigvee x - 1 = 0 \, \| \, \text{ addera och subtrahera 1}

\displaystyle x = -1 \bigvee x = +1 \, , \, x \ne 0

dvs då x = 1 eller x = -1, vilka är ok rötter till ekvationen för de är olika 0

lösningen på x = 1/x

Här är några länkar:

Division med noll är odefinierat på Khan academy




Mera ingående varför division med noll är odefinierat på numberphile

Trick A=B där A=B \ne 0 leder till att 1=2

mattetrick 1

Trick -20 = - 20 leder till att 0=1